超前自学网【期末高分题集】[北京交通大学]《线性代数(专)》考核必备68
奥鹏期末考核
65709–《线性代数(专)》2022年北京交通大学期末复习题集
单选题：
（1）设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
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（2）设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算有意义的是( )．
A.
B.
C.
D.
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（3）若向量与正交，则( )．
A.
B.
C.
D.
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（4）线性方程组若 是阶方阵，则该方程组( )．
A.有唯一解
B.有无穷多解
C.无解
D.不能确定是否解
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（5），，，，则( )．
A.PA
B.AP
C.QA
D.AQ
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（6）阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．
A.矩阵有个线性无关的特征向量
B.矩阵有个特征值
C.矩阵的行列式
D.矩阵的特征方程没有重根
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（7）设AX?b是一非齐次线性奥鹏期末考核方程组? ?1? ?2是其任意2个解? 则下列结论错误的是( )．
A. ?1+?2是AX?O的一个解
B.是AX?b的一个解
C. ?1??2是AX?O的一个解
D.2?1??2是AX?b的一个解
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（8）n阶方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是有n个( )．
A.互不相同的特征值
B.互不相同的特征向量
C.线性无关的特征向量
D.两两正交的特征向量
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（9）已知矩阵，则二次型( )．
A.
B.
C.
D.
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（10）下列等式正确的是( )．
A.
B.
C.
D.
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（11）矩阵的秩为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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（12）( )．
A.
B.
C.
D.
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（13）设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中( )．
A.必存在一个行向量为零向量
B.必存在两个行向量，其对应分量成比例
C.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合
D.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合
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（14）设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是( )．
A.-6
B.6
C.-2
D.2
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（15）若线性方程组无解? 则? 等于( )
A.2
B.1
C.0
D.?1
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（16）设都是3维向量，则必有（ ）
A.线性无关
B.线性相关
C.可由线性表示
D.不可由线性表示
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（17）n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是( )．
A. A的秩小于n
B. A的特征值至少有一个等于零
C.A的特征值都等于零
D. A的特征值都不等于零
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（18）若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（ ）．
A.2
B.3
C.4
D.5
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（19）二次型的矩阵为( )
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B.
C.
D.
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判断题：
（1）设A,B均为n阶矩阵，则．( )
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（2）两个非零矩阵的乘积可能是零． ( )
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（3）若两个行列式相等，则它们对应的矩阵必相等． ( )
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（4）交换行列式的两列，行列式的值不变．( )
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（5）如果A是正定矩阵，那么也是正定矩阵．( )
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（6）线性相关向量组的任何一个部分组也线性相关. ( )
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（7）二次型为正定的等价条件是对应的矩阵为正定矩阵．( )
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（8）矩阵的乘法不满足交换律．( )
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（9）若n阶可逆矩阵A，则．( )
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（10）若方阵A，B满足ABBA，则B就是A的逆矩阵． ( )
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（11）若有相同的特征值，则必相似．( )
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（12）A是矩阵，B是矩阵，则AB是矩阵．( )
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（13）在秩为的矩阵中，有可能存在值为零的阶子式．( )
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（14）设，则 ． ( )
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（15）设A、B是同阶可逆方阵，则． ( )
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（16）方阵A的转置的行列式与A的行列式相等． ( )
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（17）一个向量组中可以有多个极大无关组．( )
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（18）成立．( )
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（19）对n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使AB=E(E为n阶单位矩阵)，则A可逆且有．( )
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（20）若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0．( )
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填空题：
（1） 则AB= ##
1、
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（2）设为正定矩阵，则的取值范围是 ##
1、
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（3）矩阵，则 ##
1、
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（4）若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则 ##
1、
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（5）已知3维向量 QUOTE * MERGEFORMAT =（1，-3，3）， QUOTE * MERGEFORMAT （1，0，-1）则 QUOTE * MERGEFORMAT +3 QUOTE * MERGEFORMAT = ##
1、
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（6）设为3阶方阵，，且向量和是的两个解向量，则的通解为 ##
1、
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（7）如果向量组，, 线性相关，则 ##
1、
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（8）行列式的充分必要条件为 ##
1、
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（9）设，则A+B= ##
1、
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（10）3阶方阵的特征值分别为1，，3，则的特征值为 ##
1、
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（11）相似于对角阵，则 ##
1、
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（12）行列式 ##
1、
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（13）设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则= ##
1、
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（14）设，则 ##， ##
1、
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2、
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（15）已知方阵满足(为常数),则 ##
1、
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（16）矩阵的秩等于 ##
1、
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其他题：
（1）求矩阵的秩
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所以.
（2）设向量组A:，求向量组A的秩及一个极大无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
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因而，构成一个极大无关组，且
（3）求齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示它的全部解
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所以原方程组的同解方程组为
即
令，得到原方程组的基础解系为
，，
故原方程组的全部解是，这里是任意常数。
（4）已知实对称矩阵，求正交矩阵Q，使得为对角矩阵，并写出此对角矩阵
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，即为矩阵的特征值
对于，解方程组,得其基础解系为
，
把正交化，有，
再把单位化，得，
对于，解方程组，得其基础解系为
，把单位化，得，
记
（5）设实二次型， （1）写出该二次型的矩阵； （2用正交变换化二次型为标准形，并写出变换的矩阵和标准形。
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该二次型的矩阵为
（2）
A的特征值
解线性方程组，得基础解系
它们两两正交，再将它们单位化为，令则
原二次型经过正交变换化为标准形
（6）若为阶矩阵, 且满足, , 试证明不可逆
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因为
所以 ，
于是不可逆.
（7）若是（）的线性无关解，证明：是对应齐次线性方程组的线性无关解．
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设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关．
（8）确定a、b的值，使矩阵 A=的秩为2
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使矩阵 A的秩为2，则
（9）计 算n阶行列式
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（10）问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）
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时，，有惟一解，此时
，；
时，，有无穷多解，此时
，，通解为，其中为任意常数
（11）求矩阵的特征值与特征向量
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所以的特征值为，．
当时，解方程组，即
得基础解系，则属于的全体特征向量为
当时，解方程组，即
得基础解系，，则属于的全体特征向量为
(，不同时为0)
（12）求一个正交变换，使下列二次型化为标准形
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，正交化标准化得
，
对
所以．
，
（13）证明
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．
（14）设,,线性无关,证明: ,,也线性无关
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因为线性无关，所以，
所以，线性无关
