超前自学网【期末高分题集】[北京交通大学]《线性代数》考核必备12
奥鹏期末考核
327–《线性代数》2022年北京交通大学期末复习题集
单选题：
（1）设n阶矩阵A的行列式等于，则等于( )．
A.
B.-5
C.5
D.
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（2）设A为矩阵，则A的秩最大为( )．
A.2
B.3
C.4
D.5
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（3）若向量与正交，则( )．
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B.
C.
D.
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（4）实二次型是正定二次型，则 的取值范围为( )．
A.
B.
C.
D.
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（5）设3阶实对称矩阵的特征值分别为1，0，，则( )．
A.||=0
B.||≠0
C.负定
D.正定
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（6）设向量组A能由向量组B线性表示，则( )．
A.
B.
C.
D.
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（7）设为阶方阵，，是方程组的两个不同的解向量，则方程组通解为( )．
A.
B.
C.
D.
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（8）设A为n阶方阵? A的秩 r(A)?r?n? 那么在A的n个列向量中( )．
A.必有r个列向量线性无关
B.任意r个列向量线性无关
C.任意r个列向量都构成最大线性无关组
D.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出
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（9）设向量组，，线性无关，则( )．
A.
B.
C.
D.
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（10）设为矩阵，秩，则方程组的基础解系所含向量个数等于( )．
A.
B.
C.
D.
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（11）( )．
A.
B.
C.
D.
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（12）二次型的秩等于( )．
A.0
B.1
C.2
D.3
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（13）如果= M，则 = ( )．
A.8M
B.2M
C.M
D.6M
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（14）A为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是( )
A.
B.
C.
D.
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（15）是阶矩阵，且，则必有( )．．
A.
B.
C.
D.
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（16）n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是( )．
A. A的秩小于n
B. A的特征值至少有一个等于零
C.A的特征值都等于零
D. A的特征值都不等于零
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（17）向量组 ，，，则该向量组的最大组是（ ）．．
A.
B.
C.
D.
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（18）已知，且，则( )
A.
B.
C.
D.
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判断题：
（1）若方阵A，B满足AB=BA，则B就是A的逆矩阵． ( )
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（2）若方阵A不可逆，则其行列式必等于零． ( )
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（3）若R(A)=4，则A的所有三阶子式均不等于零． ( )
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（4）A与B都是32矩阵，则A与B的乘积也是32矩阵． ( )
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（5）若n个向量构成的向量组线性相关，则其中必有一个可有其余n-1个线性表示． ( )
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（6）交换行列式的两列，行列式的值不变．( )
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（7）设矩阵的秩为，则中所有阶子式必不是零．( )
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（8）若是向量组的一个极大无关组，则均可用线性表示．( )
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（9）如果A是正定矩阵，那么也是正定矩阵．( )
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（10）n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积．( )
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（11）二次型正定． ( )
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（12）设A、B是同阶方阵，则由，可得到． ( )
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（13）若两个行列式相等，则它们对应的矩阵必相等． ( )
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（14）方阵A的转置的行列式与A的行列式相等． ( )
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（15）零向量可由任何向量组线性表示． ( )
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（16）如果向量组线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．( )
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（17）初等变换不改变矩阵的秩．( )
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（18）若有相同的特征值，则必相似．( )
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（19）设，则 ． ( )
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（20）正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵．( )
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填空题：
（1）设，如果A=B，则## ，##
1、
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2、
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（2）若与正交，则##
1、
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（3）设为正定矩阵，则的取值范围是 ##
1、
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（4）## .
1、
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（5）二次型##
1、
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（6）设A满足,则A有特征值##
1、
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（7）已知向量组的秩为2，则##
1、
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（8）行列式的充分必要条件为##
1、
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（9）设方阵的行列式，则必有一个特征根为##
1、
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（10）矩阵的秩等于##
1、
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（11）的伴随矩阵是##
1、
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（12）已知方阵满足(为常数),则##
1、
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（13）设，则## ，##
1、
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2、
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（14）设A为n阶方阵，，且是的三个线性无关的解向量，则的一个基础解系为##
1、
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（15）若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则##
1、
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（16）二次型的矩阵为##
1、
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其他题：
（1）计算行列式
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原行列式
（2）设A=，求
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，故.
（3）问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）
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时，，有惟一解，此时
，；
时，，有无穷多解，此时
，，通解为，其中为任意常数．
（4）已知实对称矩阵，求正交矩阵Q，使得为对角矩阵，并写出此对角矩阵
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，即为矩阵的特征值
对于，解方程组,得其基础解系为
，
把正交化，有，
再把单位化，得，
对于，解方程组，得其基础解系为
，把单位化，得，
记
（5）求正交变换，将二次型化为标准形，并写出其标准形.
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单位化得正交矩阵
.
（6）设A，B，均为n阶正交矩阵，证明
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（7）设为的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明线性无关
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因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是的解。这与已知条件为的一个解相矛盾．所以，线性无关．
（8）计算行列式
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=
（9）求矩阵满足
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（10）求齐次线性方程组的基础解系以及通解
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便得 QUOTE 即得基础解系 QUOTE ，
令及 QUOTE 对应有及 QUOTE ，并由此得到通解
（11）求方阵A=的特征值及特征向量
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则矩阵的特征值为
当时，代入方程组，得其对应的特征向量为
；
所以属于特征值的A的特征向量为，其中是不全为零的常数。 属于特征值的A的特征向量为，其中是不全为零的常数
（12）设实二次型， （1）写出该二次型的矩阵；（2）用正交变换化二次型为标准形，并写出变换的矩阵和标准形
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该二次型的矩阵为
（2）
A的特征值
解线性方程组，得基础解系
它们两两正交，再将它们单位化为，令则
原二次型经过正交变换化为标准形
（13）设向量组 试证明向量组线性相关
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即
整理得
而有非零解，所以结论成立．
（14）证明
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