中国地质大学(北京)《高等数学(一)》期末考试必备题集

奥鹏期末考核

80139–中国地质大学(北京)《高等数学(一)》奥鹏期末考试题库合集

单选题：
（1）设,则的定义域是().
A.[0,4]
B.[-2,2]
C.[0,2]
D.[1,3]
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（2）当时,是的().
A.低阶无穷小
B.等阶无穷小
C.同阶但不等阶无穷小
D.高阶无穷小
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（3）设在上连续,则的值为().
A.-1
B.0
C.1
D.2
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（4）对于函数,下面叙述正确的是().
A.函数连续且一阶导数也连续
B.函数连续但一阶导数不连续
C.函数不连续但一阶导数连续
D.函数不连续且一阶导数也不连续
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（5）下列论述正确的是().
A.驻点必是极值点
B.极值点必是最值点
C.可导的极值点必是驻点
D.极值点必是拐点
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（6）下列凑微分正确的是().
A.
B.
C.
D.
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（7）设是的一个原函数,则有下面成立的是().
A.
B.
C.
D.
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（8）微分方程的阶数为().
A.0
B.1
C.2
D.3
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（9）函数的定义域是().
A.(-1,1]
B.[-1,1]
C.(-1,2]
D.[-1,2]
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（10）当时,是的().
A.低阶无穷小
B.等阶无穷小
C.同阶但不等阶无穷小
D.高阶无穷小
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（11）函数在点().
A.连续且可导
B.连续但不可导
C.不连续但可导
D.不连续且不可导
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（12）设是的一个原函数,则有下面成立的是().
A.
B.
C.
D.
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（13）下列那一项不是常微分方程().
A.
B.
C.
D.
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（14）设,则是的().
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.振荡间断点
D.连续点
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（15）设,则当时,下列结论正确的是().
A.
B.
C.
D.
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（16）().
A.不存在
B.0
C.
D.
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（17）设具有二阶连续导数,且,,则下列叙述正确的是().
A.是的极大值
B.是的极小值
C.不是的极值
D.是的最小值
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（18）曲线的全长为().奥鹏期末考核
A.1
B.2
C.3
D.4
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（19）当为何值时,点(1,3)为曲线的拐点?().
A.,
B.,
C.,
D.,
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（20）曲线的凸区间为().
A.
B.
C.
D.
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（21）等于()
A.
B.
C.
D.
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（22）设在处连续,则下列命题正确的是()
A.可能不存在
B.存在,但不一定等于
C.必定存在,且等于
D.在点必定可导
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（23）设,则等于()
A.
B.
C.
D.
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（24）下列关系中正确的是()
A.
B.
C.
D.
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（25）设为连续的奇函数,则等于()
A.
B.
C.
D.
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（26）设在上连续,在内可导,且,则在内曲线的所有切线中()
A.至少有一条平行于轴
B.至少有一条平行于轴
C.没有一条平行于轴
D.可能有一条平行于轴
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（27）等于()
A.
B.
C.
D.
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（28）设,则等于()
A.
B.
C.
D.
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（29）方程的待定特解应取()
A.
B.
C.
D.
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（30）如果收敛,则下列命题正确的是()
A.可能不存在
B.必定不存在
C.存在,但
D.
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（31）设函数,则等于()
A.
B.
C.
D.
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（32）设是二阶线性常系数微分方程的两个特解,则()
A.是所给方程的解,但不是通解
B.是所给方程的解,但不一定是通解
C.是所给方程的通解
D.不是所给方程的通解
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（33）当时,与比较是()
A.是高阶的无穷小量
B.是低阶的无穷小量
C.与是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量
D.与是等价无穷小量
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（34）设幂级数在处收敛,则该级数在处必定()
A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D.敛散性不能确定
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（35）若f(x)在x=x0处不连续,则f(x)在该点处().
A.必不可导
B.一定可导
C.可能可导
D.必无极限
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（36）在区间内下列函数中无界的是()
A.
B.
C.
D.
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（37）曲线在点(3,1)处的切线的斜率k=()
A.3
B.1
C.15
D.0
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（38）设则()
A.
B.
C.
D.
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（39）设函数在处具有二阶导数,且,,则为
A.最小值
B.极小值
C.最大值
D.极大值
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（40）函数在[0,3]上符合罗尔定理结论中的=()
A.0
B.2
C.–2
D.
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（41）()
A.
B.
C.
D.–1
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（42）当时,()与是等价无穷小量.
A.
B.
C.
D.
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（43）已知,则为()
A.当时,极限存在
B.当时,极限不存在
C.在处,连续
D.在处,可导
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（44）设已知函数()
A.
B.
C.
D.
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（45）()
A.—1
B.0
C.1
D.—3
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（46）()
A.2tan5x
B.tan5x
C.—2tan5x
D.—tan5x
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（47）设为[-,]上的连续函数,则定积分()
A.0
B.
C.
D.
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（48）下列函数为奇函数的是()
A.sinx
B.sinx(cosx)
C.sin
D.sin(1+)
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（49）当x→0时,下列哪个函数是无穷小量()
A.ln(1+x)
B.cos(1-x)
C.lnx
D.
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（50）设由方程所确定的隐函数为则()
A.
B.
C.
D.
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填空题：
（1）##;
1、
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（2）##;
1、
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（3）##;
1、
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（4）##;
1、
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（5）##;
1、
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（6）已知,则##;
1、
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（7）函数的单调增区间为##;
1、
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（8）##;
1、
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（9）##;
1、
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（10）微分方程的通解是##.
1、
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（11）##;
1、
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（12）##;
1、
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（13）##;
1、
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（14）已知,则##;
1、
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（15）##;
1、
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（16）微分方程的通解是##.
1、
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（17）由曲线所围成的图形的面积是##.
1、
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（18）设由方程所确定的隐函数为,则dy=##.
1、
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（19）函数的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为##.
1、
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（20）函数在区间上的最大值为##.
1、
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（21）=##.
1、
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计算题：
（1）
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==

（2）设,求
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=
=
=

（3）
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==
=

（4）
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==22=2()=2

（5）
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===

（6）设,求
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=
=

（7）
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=
=

（8）求微分方程的通解.
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两边积分,有,即为原方程的通解.

（9）求微分方程的通解.
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特征方程为,故有特征根.
从而齐次方程的通解为
(2)考虑的特解.
因为不是齐次方程的特征根,所以方程有特解形如

其中为待定系数.将它带入到方程中,有

从而.所以此方程的特解为:
(3)原方程的通解.
根据非齐次线性微分方程解的结构,方程的通解为:

（10）已知曲线满足方程,试求曲线在点(0,0)处的切线方程.
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所以,曲线在(0,0)处的切线的斜率,故
切线方程为.

（11）计算抛物线与直线所围成的图形的面积.
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.

（12）已知曲线满足方程,试求曲线在点(0,0)处的切线方程.
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所以,曲线在(0,0)处的切线的斜率,故
切线方程为.

（13）计算抛物线与所围成的图形的面积.
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==.

（14）要制作一个容积为V的圆柱形带盖铁罐,问圆柱的高h和底半径r各为多少时,可使所用材料最少?
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,
因为铁罐的容积为V,所以,即,代入上式,得面积和半径的函数关系为:

由,得唯一驻点。根据实际问题,最小值存在,故此驻点一定是最小值点,从而当,时铁罐用料最省。

（15）
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=
=
=

论述题：
（1）当x0时,xln(1+x)
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即,因为,所以成立.
解法二:利用函数的单调性.考虑函数,那么

当,所以单调递增.从而
.命题得证.

（2）当时,.
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即,因为,所以当时,成立.
解法二:利用函数的单调性.考虑函数,那么

当,所以单调递增.从而
.命题得证.

（3）设函数在上连续,在内可导,且,试证存在,使得
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,即.
又因为存在,使得

所以,即结论成立.